眾所周知，選擇示波器時(shí)經(jīng)常會(huì)用到5倍法則，其實(shí)不僅僅是針對(duì)帶寬，當(dāng)涉及到快沿信號(hào)上升時(shí)間測(cè)試時(shí)，根據(jù)上升時(shí)間選擇示波器也會(huì)用到5倍法則。本文將分別對(duì)這兩種情況下的5倍法則展開討論，并介紹當(dāng)考慮示波器和探頭構(gòu)成的整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)時(shí)又該如何選擇。

1. 示波器帶寬選擇時(shí)的5倍法則

所謂5倍法則，就是為了保證信號(hào)的幅度測(cè)試精度，示波器的帶寬至少要選擇為信號(hào)頻率的5倍！這通常針對(duì)于正弦波信號(hào)，因?yàn)槠漕l譜只有一根譜線。而對(duì)于脈沖信號(hào)，由于理論上具有無數(shù)個(gè)諧波，通常將示波器帶寬選擇為所關(guān)注的最高次諧波頻率的5倍。

為什么按照5倍法則選擇示波器的帶寬呢？如果不按照這個(gè)法則，對(duì)于信號(hào)幅度測(cè)試精度有多大影響呢？選擇示波器帶寬時(shí)，5倍法則主要適用于哪一類示波器？

為了解釋這些問題，首先需要了解一下示波器的模擬帶寬。示波器的模擬通道具有低通濾波器的頻率響應(yīng)，帶寬就是指該低通濾波器的3dB截止頻率。如果測(cè)試一個(gè)頻率與示波器標(biāo)定帶寬相同的正弦波信號(hào)，電壓幅度測(cè)試結(jié)果將下降為真實(shí)電壓值的0.707倍，如果用對(duì)數(shù)表示，則測(cè)量幅度將降低3dB。

可將示波器的模擬通道等效為一個(gè)RC低通濾波器，為了簡便起見，此處只考慮一階RC低通濾波器，其等效電路及幅頻響應(yīng)如圖1所示。一階RC低通濾波器的幅頻響應(yīng)表達(dá)式可寫為：

圖1. 一階RC低通濾波器電路模型及其幅頻響應(yīng)

使得傳輸系數(shù)下降至0.707時(shí)的頻率稱為低通濾波器的截止頻率，或者稱為3dB帶寬，據(jù)此可得

經(jīng)計(jì)算得

代入幅頻響應(yīng)函數(shù)后得

由圖1中的幅頻響應(yīng)可知，隨著頻率的不斷提高，信號(hào)經(jīng)過濾波器時(shí)的衰減越大，這也意味著測(cè)得的信號(hào)幅度誤差越大。如何保證信號(hào)的幅度測(cè)試精度呢？

很明顯，當(dāng)示波器的帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號(hào)的頻率時(shí)，才可以得到非常高的幅度測(cè)試精度。但是，示波器帶寬越大，成本越高，實(shí)際選擇時(shí)必須折中考慮成本和測(cè)試精度。業(yè)界通常采用5倍法則選擇示波器的帶寬，此時(shí)可以保證至少98%的幅度測(cè)試精度。

假設(shè)待測(cè)正弦波信號(hào)的幅度為1V，角頻率為ω₀，當(dāng)測(cè)試精度不低于98%時(shí)，則滿足如下關(guān)系式

進(jìn)一步化簡可得

這表明，當(dāng)測(cè)試正弦波信號(hào)時(shí)，只有在示波器的帶寬不低于正弦波信號(hào)頻率的4.93倍時(shí)，才能保證至少98%的測(cè)試精度。為了方便，通常建議示波器帶寬至少為信號(hào)頻率的5倍，這就是5倍法則的由來。

表1. 測(cè)試不同頻率的正弦波時(shí)對(duì)應(yīng)的幅度精度

至于是否按照5倍法則選擇示波器的帶寬對(duì)測(cè)試精度有多大影響，在示波器帶寬固定的情況下，表1給出了不同頻率的正弦波信號(hào)對(duì)應(yīng)的理論測(cè)試精度。顯然，示波器帶寬相對(duì)于信號(hào)頻率越大，幅度測(cè)試精度越高！

選擇示波器時(shí)必須要遵循5倍法則嗎？可以肯定的是，帶寬大是有好處的，尤其是針對(duì)于經(jīng)濟(jì)型的示波器而言(BW≤1GHz)。因?yàn)橥ǔ２⒉粫?huì)對(duì)這類示波器的頻率響應(yīng)做相應(yīng)補(bǔ)償，其幅頻響應(yīng)平坦度并不好。而且，這類示波器模擬通道基本就是1階RC低通濾波器的頻響，如果要求98%的測(cè)試精度，就要按照5倍法則選擇示波器帶寬。

而對(duì)于中高端示波器，示波器內(nèi)部通常都引入了模擬通道的補(bǔ)償算法，可以得到比較平坦的幅頻響應(yīng)，因此，對(duì)于這類示波器可以不按照5倍法則進(jìn)行選擇。值得一提的是，對(duì)模擬通道的補(bǔ)償并不會(huì)擾亂測(cè)試，相反，可以大大改善測(cè)試效果，提高信號(hào)保真度，尤其是針對(duì)于寬帶信號(hào)以及高速數(shù)字信號(hào)的測(cè)試，這種補(bǔ)償是至關(guān)重要的。

2. 示波器結(jié)合探頭使用時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)的帶寬如何確定？

前面介紹了選擇帶寬時(shí)5倍法則的由來，接下來介紹當(dāng)示波器結(jié)合探頭使用時(shí)，整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的帶寬由誰決定，并為下一步推導(dǎo)上升時(shí)間的級(jí)聯(lián)公式做準(zhǔn)備。

與示波器的模擬通道類似，探頭也呈現(xiàn)為低通濾波器的頻率響應(yīng)。很明顯，當(dāng)示波器帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于探頭帶寬時(shí)，系統(tǒng)的帶寬取決于探頭；當(dāng)探頭的帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于示波器的帶寬時(shí)，系統(tǒng)的帶寬取決于示波器。

通常認(rèn)為，測(cè)試系統(tǒng)的帶寬和示波器及探頭的帶寬滿足如下關(guān)系：

其實(shí)，當(dāng)示波器帶寬和探頭帶寬相當(dāng)時(shí)，采用這個(gè)公式計(jì)算得到的系統(tǒng)帶寬的誤差是比較大的。示波器和探頭構(gòu)成的測(cè)試系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)表達(dá)式為

類似地，當(dāng)系統(tǒng)的傳輸系數(shù)下降至0.707時(shí)的頻率即為系統(tǒng)的3dB帶寬，這意味著

化簡可得

如果將上式中的高次項(xiàng)忽略，則便可以得到上面的結(jié)論。

那么能否將高次項(xiàng)忽略呢？當(dāng)示波器帶寬和探頭帶寬差異較大時(shí)，高次項(xiàng)相對(duì)較小，是可以忽略的。二者帶寬越接近，則忽略高次項(xiàng)帶來的誤差越大，當(dāng)二者帶寬相同時(shí)，使用上式計(jì)算的系統(tǒng)帶寬的誤差最大，可以達(dá)到25%的誤差。但可以肯定的是，總體的系統(tǒng)帶寬是小于示波器和探頭帶寬的！

盡管如此，對(duì)于中高端示波器和有源探頭而言，由于可以對(duì)探頭和模擬通道的頻響做補(bǔ)償，因此即使二者帶寬相同，也可以滿帶寬使用。比如，示波器帶寬為16GHz，探頭帶寬也為16GHz，則系統(tǒng)帶寬也可以達(dá)到16GHz。而經(jīng)濟(jì)型示波器卻沒有這種補(bǔ)償頻響的功能，系統(tǒng)帶寬會(huì)變窄，使用時(shí)要特別注意。

3. 按照上升時(shí)間選擇示波器時(shí)的5倍法則

本節(jié)將首先介紹帶寬與上升時(shí)間的關(guān)系，并給出理論推導(dǎo)；然后著眼于示波器和探頭構(gòu)成的整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)，描述了系統(tǒng)的上升時(shí)間與示波器和探頭的上升時(shí)間有著怎樣的關(guān)系；最后道出結(jié)論，為了提高測(cè)試精度，建議采用5倍法則進(jìn)行選擇。

對(duì)于任意一個(gè)LTI (線性時(shí)不變)系統(tǒng)，當(dāng)施加一單位階躍信號(hào)時(shí)對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)(簡稱為階躍響應(yīng))，該過程可以理解為其瞬態(tài)響應(yīng)過程，響應(yīng)的快慢取決于系統(tǒng)帶寬，一般使用上升時(shí)間衡量。系統(tǒng)帶寬越大，則瞬態(tài)響應(yīng)速度越快，上升時(shí)間也越短。對(duì)于示波器和探頭，亦是如此。

示波器和探頭的上升時(shí)間與帶寬之間具有怎樣的量化關(guān)系？

示波器的模擬通道和探頭均呈現(xiàn)為低通濾波器的特性，為了便于推導(dǎo)，此處假設(shè)二者均具有一階RC低通濾波器的頻響。

如果要確定上升時(shí)間，則需要從階躍響應(yīng)入手，一階RC低通濾波器的階躍響應(yīng)為

式中，為濾波器的時(shí)間常數(shù)，且.

如果按照10%~90%的規(guī)則定義上升時(shí)間，則可以按照如下方法進(jìn)行計(jì)算。

在t=0時(shí)刻，信號(hào)電壓為0.

假設(shè)t₁時(shí)刻，信號(hào)電壓上升至0.1 V，則滿足：。

假設(shè)t₂時(shí)刻，信號(hào)電壓上升至0.9 V，則滿足：。

經(jīng)計(jì)算可得上升時(shí)間為：

進(jìn)一步化簡得

對(duì)于低通濾波器而言，3dB截止頻率即為3dB帶寬，因此可以得到關(guān)于帶寬與上升時(shí)間關(guān)系的經(jīng)典公式：

該公式是基于一階RC低通濾波器頻響推導(dǎo)的，對(duì)于BW ≤ 1GHz的示波器和探頭而言，基本都適用。如果是更高帶寬的中高端示波器和探頭，其通道依然相當(dāng)于低通濾波器，但通常并不是一階低通濾波器的頻響，所以上述公式中的系數(shù)不再是0.35，而是位于0.4~0.45之間。

對(duì)于示波器和探頭構(gòu)成的測(cè)試系統(tǒng)，總體的上升時(shí)間如何推算呢？

前面已經(jīng)介紹了測(cè)試系統(tǒng)帶寬與示波器和探頭帶寬之間的關(guān)系，結(jié)合帶寬與上升時(shí)間的關(guān)系，則整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)與示波器和探頭的上升時(shí)間滿足：

也就是說，整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的上升時(shí)間惡化了。

對(duì)于待測(cè)的快沿信號(hào)而言，定義其等效3dB帶寬為BW_signal，與上升時(shí)間也可以近似等效于上面的關(guān)系式。如果使用示波器和探頭測(cè)試該快沿信號(hào)，則信號(hào)等效3dB帶寬的測(cè)量值與測(cè)試系統(tǒng)的帶寬近似滿足如下關(guān)系：

再根據(jù)帶寬與上升時(shí)間的關(guān)系，將上式進(jìn)一步化簡得

由此可見，實(shí)際測(cè)量的快沿信號(hào)的上升時(shí)間與系統(tǒng)的上升時(shí)間有很大關(guān)系。

通常推薦測(cè)試系統(tǒng)的上升時(shí)間不大于待測(cè)信號(hào)上升時(shí)間的1/5，以提高測(cè)試精度，這就是在快沿測(cè)試過程中的5倍法則！

表2. 不同的系統(tǒng)上升時(shí)間對(duì)應(yīng)的測(cè)試誤差

表2給出了測(cè)試某一快沿信號(hào)時(shí)，不同的系統(tǒng)上升時(shí)間對(duì)應(yīng)的測(cè)試誤差。系統(tǒng)上升時(shí)間相對(duì)于信號(hào)上升時(shí)間越小，則測(cè)試誤差越小，測(cè)試精度越高。當(dāng)系統(tǒng)上升時(shí)間為信號(hào)上升時(shí)間的1/5時(shí)，測(cè)試精度可以達(dá)到98%。這也是在該測(cè)試場(chǎng)景下使用5倍法則的原因！

為了進(jìn)一步驗(yàn)證，分別將示波器的帶寬限定為1GHz、500MHz和200MHz，測(cè)試同一快沿脈沖信號(hào)的波形如圖2所示。當(dāng)帶寬不足時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)上升時(shí)間增大，嚴(yán)重惡化了測(cè)試精度。

圖2. 帶寬分別限定為1GHz、500MHz和200MHz時(shí)測(cè)試同一快沿信號(hào)的結(jié)果

小結(jié)

本文描述并解釋了在選擇示波器時(shí)常用的5倍法則，該法則不僅適用于示波器帶寬的選擇，也適用于測(cè)試快沿信號(hào)時(shí)系統(tǒng)自身上升時(shí)間的選擇。對(duì)于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的等效帶寬和上升時(shí)間，文中亦有描述。為了提高幅度和上升時(shí)間測(cè)試精度，強(qiáng)烈推薦采用5倍法則選擇示波器。