快速傅里葉變換(FFT)實(shí)現(xiàn)了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，是信號(hào)分析中最常用的基本功能之一。FFT變換時(shí)，總是從離散數(shù)據(jù)中選取一部分處理，將其稱為一幀數(shù)據(jù)。而且FFT是在一定假設(shè)下完成的，即認(rèn)為被處理的信號(hào)是周期信號(hào)。因此，F(xiàn)FT之前會(huì)對(duì)這一幀數(shù)據(jù)進(jìn)行周期擴(kuò)展。

以CW信號(hào)為例，如果選取的這一幀數(shù)據(jù)不是信號(hào)周期的整數(shù)倍，則在周期擴(kuò)展時(shí)會(huì)存在樣點(diǎn)的不連續(xù)性，如圖1所示。這將導(dǎo)致FFT之后得到的頻譜失真，主要體現(xiàn)在頻率成分上。理論上，頻譜中只包含待測(cè)信號(hào)的頻率，但實(shí)際上此時(shí)的頻譜包含眾多的頻率分量。通常將這種現(xiàn)象稱為頻譜泄露效應(yīng)。

圖1. 周期擴(kuò)展造成樣點(diǎn)不連續(xù)

為了抑制頻譜泄露效應(yīng)，可以采用諸如Hanning、Kaiser等多種時(shí)間窗。還有一種特殊的時(shí)間窗——矩形窗，其實(shí)就是不加時(shí)間窗，直接對(duì)原始樣點(diǎn)做FFT變換，上述例子就是采用矩形窗的情況。只有采用矩形窗，而且窗寬度不是信號(hào)周期的整數(shù)倍時(shí)，才會(huì)發(fā)生明顯的頻譜泄露效應(yīng)。

本文的重點(diǎn)并非介紹如何采用時(shí)間窗抑制頻譜泄露效應(yīng)，而是從理論上剖析采用矩形窗時(shí)造成頻譜泄露的本質(zhì)。

1. 為什么會(huì)造成頻譜泄露？

圖1所示的樣點(diǎn)不連續(xù)也意味著相位不連續(xù)，存在180°相位反轉(zhuǎn)?？傮w來(lái)講，可以將其理解為相位調(diào)制，而且是一種特殊的相位調(diào)制，調(diào)制信號(hào)不是經(jīng)典的正弦波信號(hào)，而是方波信號(hào)，可以將調(diào)制信號(hào)寫為如下形式：

式中，T 為調(diào)制信號(hào)的周期，為一幀波形時(shí)長(zhǎng)的兩倍。這意味著在t=0 時(shí)刻，載波的相位發(fā)生了變化。

既然可以理解為相位調(diào)制，則可將已調(diào)信號(hào)寫為如下形式：

式中φ_m為相位偏移，對(duì)于圖1的例子，φ_m=π。很顯然，調(diào)制信號(hào)已經(jīng)不再是單頻點(diǎn)信號(hào)，而是多頻點(diǎn)信號(hào)。對(duì)于圖2所示的周期為T 的方波信號(hào)，其頻譜包含DC、基波及其眾多的奇次諧波分量 。

圖2. 調(diào)制信號(hào)p(t)的時(shí)域波形

滿足Dirichlet 條件時(shí)，任何周期函數(shù)均可以進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，p(t) 可以寫為：

式中，Ω為方波信號(hào)的基波頻率，Ω=2π/T。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以得到a_n 和b_n 如下：

這意味著p(t) 只包含DC、基波及其奇次諧波，但階數(shù)越高，諧波強(qiáng)度越弱。

可以將p(t) 重新寫為：

為簡(jiǎn)便起見，首先考慮調(diào)制信號(hào)只包含DC和基波的情況，這又回到經(jīng)典的相位調(diào)制。

將其代入已調(diào)信號(hào)u_p (t) 后可得

上式可以寫為復(fù)指數(shù)形式

為了進(jìn)一步分析，可將進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，其展開式為宗數(shù)為b₁φ_m的第一類貝塞爾函數(shù)：

將其代入復(fù)指數(shù)表達(dá)式

則u_p (t) 可重新表示為

可以看出，當(dāng)只考慮調(diào)制信號(hào)的DC和基波時(shí)，已調(diào)信號(hào)u_p (t)將包括ω_c及ω_c+nΩ(n為整數(shù)) 等眾多頻率分量。

實(shí)際中調(diào)制信號(hào)還包含豐富的諧波分量，因此對(duì)載波進(jìn)行相位調(diào)制后的頻譜更加豐富。面對(duì)的困難是，考慮的諧波越多，公式推導(dǎo)越復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化，下面只考慮到3次諧波。

對(duì)應(yīng)的已調(diào)信號(hào)為

類似地，可以寫為如下復(fù)指數(shù)形式

將、分別進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開為

經(jīng)過(guò)一番推導(dǎo)可得

由此可見，當(dāng)考慮到調(diào)制信號(hào)的三次諧波時(shí)，已調(diào)信號(hào)u_p (t) 的頻譜更加豐富，包括ω_c、ω_c+nΩ 、ω_c+3kΩ及ω_c+nΩ+3kΩ(n,k為整數(shù)) 等眾多頻率分量。

以此類推，當(dāng)考慮p(t) 更高階的諧波時(shí)，將會(huì)有更多的頻率項(xiàng)，但是從頻率上看，各個(gè)頻率分量都是均勻分布的，而且相鄰譜線之間的間距始終為基波Ω。

2. 下面討論一下u_p (t) 主要頻率分量的幅度。

(1) 首先考慮載波ω_c的幅度，以上面考慮到三次諧波的情況為例。當(dāng)nΩt+3kΩt=0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是載波分量。這要求n=-3k (k 為整數(shù))，此時(shí)可以得到：

對(duì)于第一類貝塞爾函數(shù)J_n (x)，其奇偶特性如下：

當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，J_n (x) 為奇函數(shù)；當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，J_n (x) 為偶函數(shù)。

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

因以上考慮的都是相位偏移 φ_m=π的情況，故b₁φ_m=2，b₃φ_m=2/3，代入上式得

對(duì)于第一類貝塞爾函數(shù)，J_n (2)=J_n (2/3)=0 (n≥5)，則

根據(jù)第一類貝塞爾函數(shù)，上式計(jì)算得到的載波信號(hào)幅度非常微弱。

(2) 頻率分量ω_c+Ω的幅度分析。當(dāng)n=-3k+1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是ω_c+Ω頻率分量。

由于，且J_n (2)=J_n (2/3)=0 (n≥5)，上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

該頻率分量的幅度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于載波的幅度！

(3) 頻率分量ω_c-Ω的幅度分析。當(dāng)n=-3k-1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是ω_c-Ω頻率分量。

由于，且J_n (2)=J_n (2/3)=0 (n≥5)，上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

該頻率分量的幅度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于載波的幅度！

而且對(duì)比 ω_c+Ω 和 ω_c-Ω 兩個(gè)頻率分量，它們的幅度相同！也就是說(shuō)，從頻譜上看，它們是關(guān)于載波對(duì)稱的！

(4) 頻率分量ω_c+2Ω 的幅度分析。當(dāng)n=-3k+2 時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是ω_c+2Ω 頻率分量。

雖然(n,k) 的組合很多，但是當(dāng)階數(shù)較大時(shí)，J_n (2)= J_n (2/3)=0 (n≥5)，因此可得

經(jīng)過(guò)計(jì)算，該頻率分量的幅度非常微弱。

(5) 頻率分量ω_c-2Ω 的幅度分析。當(dāng)n=-3k-2 時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是ω_c-2Ω 頻率分量。

雖然(n,k) 的組合很多，但是當(dāng)階數(shù)較大時(shí)，J_n (2)= J_n (2/3)=0 (n≥5)，因此可得

該頻率分量與ω_c+2Ω 的幅度相同，依然非常微弱。

上面從理論上解釋了頻譜泄露的起因，而且當(dāng)發(fā)生頻譜泄露時(shí)，會(huì)產(chǎn)生眾多的、分布均勻的頻率分量，相鄰譜線的頻間距取決于FFT時(shí)一幀波形的時(shí)長(zhǎng)。

值得一提的是，相位偏移 φ_m不僅對(duì)各個(gè)頻率分量的幅度有影響，也會(huì)影響頻率分布，以后有機(jī)會(huì)再來(lái)解釋這一點(diǎn)。

3. 通過(guò)使用AWG播放一個(gè)CW信號(hào)驗(yàn)證上述推導(dǎo)。

使用AWG 輸出一個(gè)100MHz 頻率的CW 信號(hào)，波形時(shí)長(zhǎng)為10.5個(gè)周期，如圖3所示，當(dāng)循環(huán)播放時(shí)便可以模擬上述的相位不連續(xù)性，會(huì)造成180°的相位跳變。

對(duì)于這種波形時(shí)長(zhǎng)不是信號(hào)周期整數(shù)倍的情況，當(dāng)單次播放時(shí)，信號(hào)的頻率就是100MHz ，但是當(dāng)連續(xù)播放時(shí)相當(dāng)于引起了相位調(diào)制，按照上述理論分析，頻譜中將包含很多頻率成分，圖4給出了信號(hào)的實(shí)測(cè)頻譜。

本例中，波形時(shí)長(zhǎng)為105ns，這意味著頻譜中相鄰譜線之間的頻率間隔約為：4.76MHz，這與圖4所示的頻譜是吻合的。

圖3. 波形時(shí)長(zhǎng)為10.5個(gè)信號(hào)周期

圖4. 時(shí)域波形及其頻譜

小結(jié)

對(duì)于使用矩形窗進(jìn)行FFT時(shí)可能存在的頻譜泄露效應(yīng)，本文從理論上定性地進(jìn)行了分析。究其原因，是因?yàn)楫?dāng)進(jìn)行周期擴(kuò)展時(shí)造成了相位的不連續(xù)。相位的不連續(xù)可以當(dāng)作相位調(diào)制來(lái)處理，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)最終解釋了為什么會(huì)出現(xiàn)眾多的頻率成分。文中還對(duì)特定相位偏移情況下的頻率分量的幅度進(jìn)行了分析。文末通過(guò)一個(gè)實(shí)例模擬了這種相位不連續(xù)，并測(cè)試了波形和頻譜，實(shí)測(cè)結(jié)果與理論推導(dǎo)相吻合。