引言

接收機的二階和三階截止點(IP)是表示特定射頻電路或系統的兩個非常重要的線性指標。通過這兩個截止點指標能夠預測接收機的交調(IM)特性，而交調特性描述了射頻裝置對相鄰信道或鄰近信道的抗干擾性。本文分別介紹了二階和三階交調情況下傳統接收機截止點級聯方程的改進形式。二階截止點(IP2)和三階截止點(IP3)級聯方程的數學推導過程引入了給接收級之間增加選擇性(S)帶來的影響，以改善IIP2與IIP3。

注意：文中所有大寫字母變量表示dB或dBm單位，小寫字母變量表示線性單位。

雜散響應干擾

在與移動基站所推薦的最低性能標準有關的無線規范中，接收機的交調特性在技術上被納入兩個主題：接收機的交調雜散響應衰減和接收機對雜散響應干擾采取的保護。

交調雜散響應衰減是在有兩個干擾連續波(CW)存在的情況下接收機接收其指定信道輸入調制RF信號的能力。這些干擾信號的頻率與有用輸入信號的頻率不同，因此接收機非線性元件會產生兩個干擾信號的n階混頻信號，最終在有用信號的頻帶內產生第三個信號。接收機防止雜散響應干擾的保護功能用于衡量接收機區分響應指定頻率輸入信號和響應其他頻率干擾信號的能力。

三階交調產生的干擾

作為接收機前端三階混頻的結果，頻率為f1和f2的兩個信道外的連續波引入一個三階交調成分，頻率等于(2f1 - f2)，它將落入開啟信道的信號通帶內(圖1a)。這一帶內三階交調(IM3)產物降低了輸入到接收機解調器的載干比(C/I)。按照斜率為3:1的直線(如圖1b)，輸入IM3產物的電平(IIM3，單位為dBm)可以用下面的等式計算，其中包括接收機的總輸入IP3 (IIP3，單位為dBm)和兩個信道外CW信號的輸入功率(PI，單位為dBm)¹：

IIM3 = 3 × PI - 2 × IIP3 (dBm)      (式1)

圖1. 由兩個信道外CW信號產生的IM3產物對帶內信號造成干擾(a)；三階截止點(IP)的定義(b)。

圖2為一個傳統的兩級變頻超外差接收機的結構圖。在這種接收機的結構中，信道外CW干擾帶來的IM3產物來自于低噪聲放大器(LNA)、第一級混頻器、IF放大器、第二級混頻器以及IF限幅放大器。所有的IM3產物在解調器的輸入端累加，相當于在接收機的輸入端出現了一個等效的帶內IM3產物(IIM3)。使IF放大器、第二級混頻器和IF限幅放大器的IM3分量達到最小可以減小這個成為帶內干擾的IM3產物，而這一目標可以通過在第一級混頻器后面的IF濾波器(IF濾波器1)中提高對那些信道外干擾的IF選擇性(S)實現。注意，濾波器的選擇性(S)代表IF濾波器1在阻帶內對信道外干擾的衰減，它相對于濾波器通帶插入損耗(IL)。所以，IF濾波器阻帶內對信道外CW信號的總抑制(R，單位為dB)可以定義為：R = -(IL + S)。IF濾波器的選擇性(S)降低了后續接收電路對三階失真和動態范圍的要求，因此，為降低等效的帶內IIM3可以對接收機總的IIP3進行優化，以滿足接收機基帶載干比(C/I)的要求。

圖2. 傳統的兩級變頻超外差接收機

改進的三階輸入截止點(IIP3)級聯方程

在圖3中，兩級變頻接收機(圖2)被分成3個部分：RF模塊、IF濾波器1和IF模塊。RF模塊，也就是模塊1，包括在第一個IF濾波器之前的接收RF部分。IF模塊，即模塊2，包括在第一個IF濾波器之后的接收機IF部分。模塊1具有G1的RF增益和等效三階輸入截止點IIP31。模塊2具有G2的IF增益和等效三階輸入截止點IIP32。假設在接收機輸入端出現的兩個信道外CW信號干擾的功率值都等于PI，也就是輸入到模塊1的兩個信道外CW信號的功率值。P2是兩個信道外CW信號變換到中頻后并進入模塊2的功率值。IIM3是兩個信道外CW信號產生的相對于接收機輸入的總IM3失真功率。IIM31是模塊1產生的相對于本模塊輸入的總IM3失真功率。IIM32是模塊2產生的相對于本模塊輸入的總IM3失真功率。

圖3. 推導改進的IP3級聯方程的框圖。公式引入了在兩個信道外CW信號頻率上給接收機各級提高選擇性(S)帶來的影響。功率單位dBm，增益單位dB。

在下面的推導過程中，模塊2的輸入IM3失真電壓除以前級電壓增益后的結果與模塊1的輸入IM3失真電壓進行同相相加，這樣作可以得到最壞情況下接收機輸入的總IM3失真電壓。假設系統特征阻抗為1Ω，我們可以寫出下面的等式：
√iim3 = √iim31 + √(iim32/(g1/il)) (伏特)      (式2)

其中，取平方根是為了將IM3從功率值變為電壓值。其中變量iim3、iim31和iim32取線性功率單位(瓦特或毫瓦)。并且有G1 (dB) = 10 × log10(g1)和IL (dB) = 10 × log10(il)。

等式1進行整理后可以得到下面的等式：
IIP3 = PI + ½(PI - IIM3) (dBm)      (式3)

等式3定義了整個接收機的輸入IP3，它也可以不用dBm作單位而寫成線性功率單位(毫瓦，mW)的形式：
pI/iip3 = √(iim3/pI)       (式4)

與在等式3中使用的方法類似，我們也可以分別定義模塊1和模塊2的IIP31和IIP32：
IIP31 = P1 + ½(P1 - IIM31) (dBm)       (式5)

IIP32 = P2 + ½(P2 - IIM32) (dBm)       (式6)

已知P1(dBm) = PI和P2(dBm) = PI + (G1 - IL - S)，可以從等式5、6得出：
IIP31 = PI + ½(PI - IIM31) (dBm)       (式7)

IIP32 = (PI + G1 - IL - S) + ½(PI + G1 - IL - S - IIM32) (dBm)       (式8)

與我們在等式3中使用的方法相同，等式7、8可以寫成線性功率單位的形式而不是以dBm為單位。于是分別得出等式9和10：
pI/iip31 = √(iim31/pI)       (式9)

pI(g1/il)/(iip32 × s3/2) = √iim32/((g1/il)pI)       (式10)

其中S(dB) = 10 × log10(s)和IL(dB) = 10 × log10(il)。注意S(dB)與IL(dB)都是正數。

再來看等式2，兩邊都除以(pI)1/2得到等式11：
√(iim3/pI) = √(iim31/pI) + √(iim32/(g1/il)pI       (式11)

根據等式4、9和10，我們將等式11中的各項都用其等效形式代替，消去pI將等式簡化后，就得到下面這個改進的IIP3級聯方程：
1/iip3 = 1/iip31 + (g1/il)/(iip32 × s3/2)       (式12)

從等式12可以看出，使用一個高選擇性的IF濾波器(s >> 1)，我們可以將IF模塊的輸入IP3 (IIP32)對接收機總輸入IP3 (IIP3)的影響降至最低，于是接收機的總輸入IP3就幾乎完全由RF模塊的IIP3 (IIP31)所決定。值得注意的是：在分析級聯系統時，中頻模塊輸入IP3 (IIP32)應該用一個等效的輸入IP3代替，它考慮了在IF模塊前引入選擇性的效應。這個等效的IIP32可以寫作：
IIP3e2 = IIP32 + (3/2) × S (dBm)       (式13)

在等式12的基礎上可以推出更加通用的、計算由M級電路級聯組成的接收機總輸入IP3的方程。每一級具有線性增益(gn)、輸入IP3 (IIP3n，單位為瓦特)和兩個信道外CW信號頻率的選擇性(sn)。上述因素共同作用，使得帶內IM3為(假設iln << sn)：
1/iip3 = 1/iip31 + (g1/(iip32 × s13/2) + (g1 × g2)/(iip33 × (s1 × s2)3/2) + ... + (g1 × g2 ... gM-1)/(iip3M × (s1 × s2 ... sM-1)3/2)       (式14)

其中，Sn(dB) = 10 × log10(sn)。注意：當sn取1時，這個方程就簡化為經典的M級級聯的截止點計算方程。此時，選擇性參數Sn取0dB¹。

二階交調產生的干擾

接收機雜散響應是與信道內RF信號頻率不同的信號，然而如果電平值足夠高，它們仍然能夠在接收機的通帶內產生輸出干擾。雜散響應的頻率之一是在半中頻點。這個半中頻雜散響應導致了出現在接收機RF前端的二階交調產物(IM2)。IM2的強度可以通過接收機RF前端的二階截止點(IP2)預測，其中RF前端的定義包括接收鏈路第一級混頻器及其前面的電路(圖2)。

對于第一級混頻器的高端注入(圖4a)，接收機輸入端的一個CW信號偏離本振頻率-fIF/2，通過第一級混頻器中(-2.fCW + 2.fLO) IM產物下變頻至中頻¹,²。對于低端注入，與本振頻率偏差+fIF/2的CW信號會被頻率為(2.fCW - 2.fLO)的IM產物下變頻至中頻。按照斜率為2:1 (圖4b)的線性關系，利用包括接收機RF前端輸入IP2 (IIP2，單位為dBm)和輸入半中頻CW信號功率值(PI，單位為dBm)的方程可以確定上述輸入IM2產物(IIM2，單位為dBm)的功率¹：
IIM2 = 2 × PI - IIP2 (dBm)      (式15)

圖4. 由半中頻雜散響應產生的IM2帶內干擾(a)和二階截止點(IP)的定義(b)

減小第一級混頻器的二階IM分量可以降低由半中頻雜散響應產生的帶內IM2產物。為了達到這個目的，可以在第一級混頻器前面的RF濾波器(RF濾波器1和2)中引入一定量的對信道外干擾的射頻選擇性(S)。注意，濾波器的選擇性(S)指的是RF濾波器阻帶對雜散響應頻率的衰減，它相對于濾波器在通帶內的插入損耗(IL)。RF濾波器的選擇性(S)降低了第一級混頻器對二階失真和動態范圍的要求。因此，為了降低半中頻信號產生的等效帶內IIM2產物，可以對接收機總的RF前端IIP2進行優化，以滿足接收機基帶載干比(C/I)的要求。

改進的二階輸入截止點(IIP2)級聯方程

圖5中，將兩級變頻接收機的RF前端分成三個模塊：RF濾波器2，模塊1 (包括所有在RF濾波器2之前的部分)和模塊2 (在RF濾波器2之后并包括第一級混頻器的部分)。模塊1具有RF增益G1和等效二階輸入截止點IIP21。模塊2具有RF增益G2和等效二階輸入截止點IIP22。假設出現在接收機輸入的每一個半中頻CW信號的功率為PI，也就是輸入到模塊1的半中頻CW信號的功率。P2是輸入到模塊2的半中頻CW信號的功率。IIM2是半中頻CW信號產生的相對于接收機輸入的總IM2失真功率。IIM21是模塊1產生的相對于模塊1輸入的總IM2失真功率。IIM22是模塊2產生的相對于模塊2輸入的總IM2失真功率。

圖5. 推導改進的IP2級聯方程原理框圖，其中考慮了在接收機RF前端增加對半中頻雜散頻率RF選擇性(S)的效應。功率單位dBm，增益單位dB。

在下面的推導過程中，模塊2的輸入IM2失真電壓除以前級電壓增益后的結果與模塊1的輸入IM2失真電壓進行同相相加，這樣作可以得到最壞情況下相對于接收機輸入的總IM2失真電壓。假設系統特征阻抗為1Ω，我們可以寫出下面的等式：
√iim2 = √iim21 + √(iim22/(g1/il)) (伏特)      (式16)

其中，取平方根是為了將IIM2從功率值轉變為電壓值。其中變量iim2、iim21和iim22取線性功率單位(瓦特或毫瓦)。并且有G1 (dB) = 10 × log10(g1)和IL (dB) = 10 × log10(il)。

等式15進行整理后可以變成下面的等式：
IIP2 = PI + (PI - IIM2) (dBm)       (式17)

等式17定義了整個接收機的輸入IP2，它也可以不用dBm作單位而寫成線性功率單位(毫瓦，mW)的形式：
pI/iip2 = iim2/pI       (式18)

與等式17中使用的方法類似，我們也可以分別定義模塊1和模塊2的IIP21和IIP22：
IIP21 = P1 + (P1 - IIM21) (dBm)       (式19)

IIP22 = P2 + (P2 - IIM22) (dBm)       (式20)

已知P1(dBm) = PI和P2(dBm) = PI + (G1 - IL - S)，可以從等式19、20得出：
IIP21 = PI + (PI - IIM21) (dBm)       (式21)

IIP22 = (PI + G1 - IL - S) + (PI + G1 - IL - S - IIM22) (dBm)       (式22)

與我們在等式17中使用的方法相同，等式21、22可以寫成線性功率單位的形式而不是以dBm為單位。于是分別得出等式23和等式24：
pI/iip2I = iim2I/pI       (式23)

(pI × (g1/il))/(iip22 × S²) = iim22/(g1/il) × pI)       (式24)

其中，S(dB) = 10 × log10(s)，IL(dB) = 10 × log10(il)。注意，S(dB)和IL(dB)都是正數。

再來看等式16，兩邊都除以(pI)1/2，得到等式25：
√(iim2/pI) = √(iim2I/pI) + √(iim22/(g1/il) × pI)       (式25)

根據等式18、23和24，我們將等式25中的各項都用其等價的形式代替，消去pI將等式簡化后，得到下面這個改進的IIP2級聯方程：
√(1/iip2) = √(1/iip2I) + √((g1/il)/(iip22 × s²)       (式26)

從等式12可以看出，使用一個高選擇性的RF濾波(s >> 1)，可以將第一級混頻器模塊的輸入IP2 (IIP22)對接收機RF前端的總輸入IP2 (IIP2)的影響降至最低。值得注意的是：在分析級聯系統時，第一級混頻器的輸入IP2 (IIP22)應該用等效的輸入IP2代替，它考慮了在RF濾波器中引入選擇性的效應，這個等效的IIP22可以寫作：
IIP2e2 = IIP22 + 2 × S (dBm)       (式27)

在方程26的基礎上，可以推出更加通用的、計算由M級級聯組成的接收機RF前端的總輸入IP2的公式。每一級具有線性增益(gn)、輸入IP2 (iip2n，單位為瓦特)和一個半中頻CW信號頻率的選擇性(sn)。帶內IM2產物為(假設iln << sn)：
√(1/iip2) = √(1/iip21) + √(g1/(iip22 × s1²)) + √((g1 × g2)/(iip23 × (s1 × s2)²) + ... + √((g1 × g2 ... gM-1)/(iip2M × (s1 × s2 ... sM-1)²)       (式28)

其中，Sn(dB) = 10 × log10(sn)。

參考文獻

S. Maas, Microwave Mixers, Norwood, MA, Artech House, 1993.
P. Vizmuller, RF Design Guide, Norwood, MA, Artech House, 1995.