摘要：作者早就注意到數(shù)字4是無(wú)線電科學(xué)與技術(shù)中一個(gè)重要的因子。許多天線、無(wú)線電波傳播、射頻電路與系統(tǒng)常用計(jì)算公式中都有它的身影，現(xiàn)羅列如下，供大家學(xué)習(xí)參考。

正文：無(wú)線電科學(xué)的基礎(chǔ)是麥克斯偉方程。無(wú)線電技術(shù)的起源是赫茲的工作。赫茲不僅僅證明了麥克斯偉方程所預(yù)測(cè)的電磁波之存在，也開發(fā)了最早的天線，是天線界的鼻祖。馬格尼的貢獻(xiàn)在于改進(jìn)與組裝，資助與開發(fā)了一系列無(wú)線電報(bào)系統(tǒng)，并在商業(yè)上取得成功。

一．天線

天線使無(wú)線通信與探測(cè)成為可能。因子4在天線基本性能指標(biāo)定義及設(shè)計(jì)中發(fā)揮著重要作用。

1. 天線方向性系數(shù)

天線方向性系數(shù)D 可以按照如下公式計(jì)算：

(1)

公式(1)中?_α 是天線波束的立體角。據(jù)此定義，天線方向性系數(shù)是大于或等于1的無(wú)量綱的量。

2. 天線散射口徑

天線散射口徑A_s 是天線最大有效口徑A_em 的4倍。

(2)

3. 天線噪聲

(3)

公式(3)中k 是玻爾茲曼常數(shù)，T 天線噪聲溫度，R 是輻射電阻，B 是頻帶寬度。

4. 單極子天線

馬格尼將“有線電”中的接地慨念，引入到無(wú)線電中，發(fā)明了單極子(monopole)天線^[1]。單極子天線工作長(zhǎng)度 l 可以按照如下公式選取：

(4)

公式(4)中λ 是工作波長(zhǎng)。

5. 短路微帶天線

短路微帶天線保持了傳統(tǒng)微帶天線低剖面、易集成等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)還具有諧振尺寸更小及主輻射面波束寬度大致相等的優(yōu)點(diǎn)。短路微帶天線諧振尺寸可以按照如下公式選取：

(5)

公式(5)中λ_g 是介質(zhì)波長(zhǎng)。但是，為什么短路微帶天線沒能得到很好的應(yīng)用？究其原因主要是交叉極化輻射非常嚴(yán)重^[2]。

微帶天線的基本理論是腔模理論。后人在腔模理論的基礎(chǔ)上發(fā)展出了寄生模及多模設(shè)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行微帶天線設(shè)計(jì)。作者認(rèn)為這些后續(xù)發(fā)展起來(lái)的設(shè)計(jì)方法存在著先天的缺陷。雖然基于這些方法所設(shè)計(jì)的微帶天線，一些指標(biāo)確實(shí)改善了，但同時(shí)又惡化了微帶天線其它指標(biāo)。作者還是非常推崇腔模理論中的主模工作原理，發(fā)展出主模耦合理論及設(shè)計(jì)方法。基于主模耦合理論所設(shè)計(jì)的微帶天線幾乎改善了微帶天線的所有性能指標(biāo)，而且還同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)天線小型化^[3-5]。沿著這一學(xué)術(shù)思想，我們完美地解決了困擾了微帶天線界近半個(gè)世紀(jì)的短路微帶天線交叉極化輻射非常嚴(yán)重的難題。改良式短路微帶天線H面交叉極化電平可以表示為：

(6)

公式(6)中w 是輻射片寬度，g 是耦合縫隙寬度，θ 是俯仰角，m 的取值主要影響天線的交叉極化方向圖而基本不改變天線的主極化方向圖。當(dāng)時(shí)，交叉極化輻射從單個(gè)零點(diǎn)變成三個(gè)零點(diǎn)。

6. 折疊半波偶極子天線

設(shè)半波偶極子天線輻射電阻為R_d 歐姆, 折疊半波偶極子天線輻射電阻R_fd 可以按照如下公式計(jì)算：

(7)

7. 布克關(guān)系（Booker’s Relation）

亨利•喬治•布克(H. G. Booker) 將光學(xué)中的巴比涅原理推廣到電磁場(chǎng)^[6]，并以此發(fā)現(xiàn)了互補(bǔ)天線阻抗之間存在如下關(guān)系：

(8)

公式(8)中Z_s 是縫隙天線阻抗，Z_d 是縫隙天線之互補(bǔ)天線的阻抗，Z₀ = 377歐姆是自由空間的波阻抗。布克關(guān)系告訴我們：如果縫隙天線阻抗已知，它的互補(bǔ)天線的阻抗也就知道了。

8. 德尚關(guān)系（Deschamps's Relation）

喬治•德尚（G.A. Deschamps）將布克關(guān)系擴(kuò)展到了多端口天線^[7]。對(duì)于兩端口互補(bǔ)天線，德尚關(guān)系可以表達(dá)如下：

(9)

公式(9)中Z₁₁ 與Z₂₂ 分別是一端口與二端口自阻抗，Z₁₂ 是一端口與二端口之間互阻抗。

9. 輸入阻抗關(guān)系（Input Impedance Relation）

為了順應(yīng)系統(tǒng)級(jí)集成的潮流，促進(jìn)天線與電路協(xié)同設(shè)計(jì)的發(fā)展，作者正在努力統(tǒng)一天線與電路之間的一些術(shù)語(yǔ)，增進(jìn)天線與電路工作者之間相互了解，盡量減小因術(shù)語(yǔ)差異而造成的誤解。作者從定義差分與單端口天線入手，引入了天線的差分輸入阻抗Z_dif ，共模輸入阻抗 Z_com ，單端口輸入阻抗Z_sig ，并發(fā)現(xiàn)了它們?cè)谥C振天線之間的如下關(guān)系：

(10)

 

(11)

公式(10)與（11）中Z_s 是端口自阻抗，Z_m 是端口之間互阻抗。上述關(guān)系對(duì)集成無(wú)線系統(tǒng)中天線與電路協(xié)同設(shè)計(jì)有著重要的理論指導(dǎo)意義^[8]。

二．無(wú)線電波傳播

無(wú)線電波傳播在不同傳播區(qū)域遵循不同傳播規(guī)律。因子4在確定傳播區(qū)域及表征傳播規(guī)律中起著重要作用。

10. 地平面上視距傳播拐點(diǎn)位置

(12)

公式(12)中h_b 是基站天線高度，h_m 是移動(dòng)臺(tái)天線高度，λ 是工作波長(zhǎng)。

11. 地平面上視距傳播拐點(diǎn)后路徑衰減指數(shù)

在地平面上視距傳播拐點(diǎn)位置之前，傳播區(qū)域?qū)儆诘谝环颇鷥艨諈^(qū)，路徑損耗可以使用自由空間公式計(jì)算。在地平面上視距傳播拐點(diǎn)位置之后，路徑損耗可以使用如下公式計(jì)算：

(13)

如果讀者想知道諸如隧道等限定空間中視距傳播拐點(diǎn)位置如何確定及路徑損耗如何計(jì)算？請(qǐng)參閱作者2003年發(fā)表的有關(guān)無(wú)線電波傳播的文章^[9]。

三．無(wú)線電系統(tǒng)

無(wú)線系統(tǒng)中的有源器件、無(wú)源零件、電路、阻抗變換都會(huì)遇到因子4。

12. 約翰遜-奈奎斯特噪聲

該噪聲又稱熱噪聲，它是平衡狀態(tài)下電導(dǎo)體內(nèi)部電荷載流子（通常是電子）的熱攪動(dòng)產(chǎn)生的電子噪聲，無(wú)論施加何種電壓，都會(huì)發(fā)生這種噪聲。

(14)

公式(14)中k 是玻爾茲曼常數(shù)，T 是電導(dǎo)體的溫度，R 是電導(dǎo)體的電阻，B 是頻帶寬度。

13. 場(chǎng)效應(yīng)晶體管溝道噪聲

(15)

公式(15)中γ 是經(jīng)驗(yàn)數(shù)，與溝道長(zhǎng)度有關(guān)，由實(shí)驗(yàn)來(lái)定；g_m 是溝道電導(dǎo)。

14. 阻抗變換器

當(dāng)傳輸線長(zhǎng)度為λ/4 ，輸入阻抗Z_i 與負(fù)載阻抗Z_l 之乘積等于傳輸線特征阻抗Z_c 的平方。

(16)

15. 非線性增益壓縮

當(dāng)輸入信號(hào)幅度A 增加時(shí)，所有電路或系統(tǒng)的增益都會(huì)受到因非線性所帶來(lái)的壓縮。如下公式（16）中a₁ 是電路或系統(tǒng)一階線性系數(shù)，a₃ 是三階非線性系數(shù)，a₃ 為負(fù)數(shù) ^[10]。

(17)

16. 三階截取點(diǎn)

當(dāng)輸入信號(hào)幅度A 增加到A_IP3 時(shí)，電路或系統(tǒng)的輸出信號(hào)中三階交調(diào)分量與一階線性分量相等。A_IP3 可以由如下公式計(jì)算 ^[10]：

(18)

結(jié)論：數(shù)字4作為無(wú)線電科學(xué)與技術(shù)中的一個(gè)重要因子，作者認(rèn)為其主要原因有：莫里茨•赫爾曼•馮•雅哥比（Moritz Hermann von Jacobi）定理所決定的最大功率傳輸條件所要求；球體的立體角；三角函數(shù)計(jì)算等。此外，作者相信上述羅列肯定不完整，歡迎大家補(bǔ)充。最后，有感于上面簡(jiǎn)單明了的公式，讓我用一句名言“簡(jiǎn)潔即精致 （Simplest is the utmost sophistication）”來(lái)結(jié)束此文。

參考文獻(xiàn):

[1] US patent 586193, Guglielmo Marconi, Transmitting electrical signals, filed December 7, 1896, granted July 13, 1897.
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[3] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Differential shorted patch Antennas,” IEEE Trans. Antennas Propag. vol. 67, no. 7, pp. 4438-4444, Jul. 2019.
[4] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Cross-polarization reduction of shorted patch antenna by coupled TM01 mode,” to appear in IEEE Trans. Antennas Propag.
[5] Z. Shao, Y. P. Zhang, “Coupled shorted patch antennas with both broadside and conical radiation patterns,” to appear in IEEE Trans. Antennas Propag.
[6] H. G. Booker, “Slot aerials and their relations to complementary wire aerials,” JIEE (London), vol. 93, pt. IIIA, no. 4, pp. 620-626, 1946.
[7] G. A. Deschamps, “Impedance properties of complementary multiterminal planar structures,” IRE Trans. Antennas Propag., pp. 371-378, Dec. 1959.
[8] Y. P. Zhang, “Impedance relations for differential antennas and single-ended counterparts,” submitted to IEEE Trans. Antennas Propag.
[9] Y. P. Zhang, “Novel model for path loss prediction in tunnels,” IEEE Trans. Vehicular. Tech. vol. 52, no. 5, pp. 1308-1314, Sep. 2003.
[10] Y. P. Zhang, Lecture Notes on Radio-Frequency Integrated Systems Design, NTU, Singapore 

作者簡(jiǎn)介: 張躍平，男，山西省萬(wàn)榮縣西村人，博士，教授，無(wú)線電電子學(xué)家，IEEE Fellow，IEEE天線與傳播學(xué)會(huì)杰出講師，IEEE天線與傳播學(xué)會(huì)謝昆諾夫論文獎(jiǎng)與克勞斯天線獎(jiǎng)得主。