使用聯(lián)想鏈條和幾何直觀，輔以從實(shí)際需求衍生概念的思考模式，詳解什么是傅立葉變換，為什么要做傅立葉變換等，幫助記憶和理解，目的當(dāng)然是標(biāo)題所說(shuō)：讓你永遠(yuǎn)忘不了傅里葉變換這個(gè)公式。另，這篇博客還從側(cè)面一定程度上回答了另一個(gè)問(wèn)題：為什么要研究復(fù)數(shù)

本篇博客為形象展示傅里葉變換和歐拉公式與初等群論兩個(gè)視頻的筆記結(jié)合，希望通過(guò)此篇讓所有讀者對(duì)傅立葉變換有一個(gè)全新的認(rèn)知，并且宣傳一波 3b1b 良心視頻系列！重塑對(duì)未知和知識(shí)的渴求

歐拉公式與旋轉(zhuǎn)

在開(kāi)始一步一步接近【傅立葉變換】前，先說(shuō)一下群論提前說(shuō)明，此部分有地方會(huì)提到【群論】這個(gè)概念，但博主并不是要試圖把什么環(huán)、域、向量空間、代數(shù)結(jié)構(gòu)、線性代數(shù)群、李群等等一大堆很抽象的概念灌輸給大家，我們只是為了利用群論的概念，加深或者說(shuō)建立一個(gè)對(duì)【理解傅立葉變換】極度有幫助的直觀概念：指數(shù)函數(shù)（逆操作對(duì)數(shù)函數(shù)同理）是加法和乘法運(yùn)算的橋梁，在自變量包含復(fù)數(shù)時(shí)表示旋轉(zhuǎn)。以具體的一個(gè)例子來(lái)說(shuō):

e^(πi)表示的是在單位圓上逆時(shí)針在旋轉(zhuǎn)180°這個(gè)變換。

等等，這不是排行世界上最偉大的十個(gè)公式第二名的歐拉公式（上帝公式）嘛？（BTW，我們今天的主角【傅立葉變換】排行第七，這陣容著實(shí)強(qiáng)大）

?是的，這第一部分，捎帶，會(huì)帶你更進(jìn)一步的重新認(rèn)識(shí)這個(gè)公式的偉大。

對(duì)稱性 symmetry

首先，假設(shè)我們有以下陳述：正方形是對(duì)稱圖形

那么從數(shù)學(xué)（定義 or 公式）角度上來(lái)說(shuō)，怎么描述【對(duì)稱】這個(gè)概念呢？我們作為【人】，肯定會(huì)想，不就是看著左右一樣嘛？不夠嚴(yán)謹(jǐn)，不夠優(yōu)雅，繼續(xù)深入，可以這么考慮：你能對(duì)正方形做些什么，并且在這個(gè)操作后，保持正方形的形態(tài)和操作前相同

我們把具有上述性質(zhì)的操作都列出來(lái)，放在mi一起，如下面動(dòng)圖所示（左右旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)180°，四個(gè)軸對(duì)稱，不變，這八個(gè)操作），就構(gòu)成了一個(gè)有限群【對(duì)稱群】，更專業(yè)的叫法是【八階二面體群 Dihedral group of order 8】

?有了上面的直觀理解，還有一個(gè)無(wú)限群需要了解，即【旋轉(zhuǎn)群】，表示的是所有旋轉(zhuǎn)操作，當(dāng)然，因?yàn)榻嵌瓤梢詿o(wú)限細(xì)分，這個(gè)操作也是無(wú)限的，比如：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

此時(shí)，能總結(jié)出一個(gè)巧合的現(xiàn)象，按照順序進(jìn)行上面8個(gè)操作的某兩個(gè)，恰好等同于8個(gè)操作中的其他的某一個(gè)（旋轉(zhuǎn)群同理），如下面的動(dòng)圖所示，把這些組合放到一起，才真正的表達(dá)了【群】這個(gè)概念

?很多不同的概念都能從對(duì)稱性和對(duì)稱性的符合構(gòu)建得到，如下圖所示，其中，數(shù)字本身有兩種表達(dá)方式（操作），加法和乘法

?對(duì)于【數(shù)】這個(gè)集合來(lái)說(shuō)，加法對(duì)應(yīng)數(shù)軸的平移變換（一個(gè)操作），乘法對(duì)應(yīng)著數(shù)軸的伸縮變換（一個(gè)操作）把這個(gè)數(shù)軸的概念拓展到平面坐標(biāo)系，1D ? 2D。如果我們要把一個(gè)點(diǎn)，比如（1,0）移動(dòng)到另一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該如何操作？簡(jiǎn)單的說(shuō)，只需要先在橫軸方向上平移，再在縱軸方向上平移即可（核心思想類比于正方形的幾個(gè)操作）同理，除了平移外，使用伸縮加旋轉(zhuǎn)也可以完成同樣的事情（將任意一點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)位置），伸縮是乘法顯而易見(jiàn)，但是旋轉(zhuǎn)怎么表示呢？（當(dāng)然直接改變坐標(biāo)軸的定義也是能做到的，例子就是極坐標(biāo)系，但我們并不想這么做），我們構(gòu)造以下思考鏈條：

• 考慮一個(gè)特例操作：一個(gè)點(diǎn)變到另一個(gè)點(diǎn)：（1,0）通過(guò)伸縮和旋轉(zhuǎn)到（-1,0），長(zhǎng)度不用變，只需旋轉(zhuǎn)即可

• 此時(shí)，注意到了一個(gè)形式很有特點(diǎn)的定義：，-1 就是我們需要的目標(biāo)位置，那如何從（1,0）出發(fā)進(jìn)行兩次同樣的操作可以得到（-1,0）呢？（這個(gè)操作即 ii 這個(gè)虛數(shù)單位定義的操作）答案即：一個(gè)單位 ii 表示旋轉(zhuǎn)90°即可

• 更意外的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行一次 ii 操作，如果是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，正好會(huì)落在二維平面y軸的（0,1）與單位長(zhǎng)度不謀而合

• 更大膽的假設(shè)，如果y軸自帶虛數(shù)單位，如，就有旋轉(zhuǎn)操作了，是不是就就能通過(guò)乘法來(lái)描述處在這個(gè)平面上的所有變換了

以上都是假設(shè)和推理，剝絲抽繭后，最關(guān)鍵的部分：如何使用單位 i 表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ，并且給出了一種可能的映射規(guī)則，x軸平移表示伸縮，y軸平移表示旋轉(zhuǎn)，這樣就可以保證群的特性？（幾種操作一定可以組合成其他某個(gè)操作，有一個(gè)學(xué)名：保持群結(jié)構(gòu)）i 怎么可能表示旋轉(zhuǎn)呢？怎么看都像啊，此時(shí)陷入了死胡同，不妨換個(gè)角度來(lái)思考，旋轉(zhuǎn)到底是什么？旋轉(zhuǎn)，是沿著一個(gè)圓弧（有圓心，轉(zhuǎn)過(guò)的角度）運(yùn)動(dòng)的過(guò)程如果你對(duì)泰勒公式非常熟悉，就可以通過(guò)一系列公式推導(dǎo)得到一個(gè)完美橋梁：【指數(shù)函數(shù)】，形如

?如果底數(shù) a=e ，通過(guò)泰勒展開(kāi)式，可以完成一個(gè)十分優(yōu)美的變形，如下：

?將 x=iθ 帶入（1）式（這里的 θ 是一個(gè)未知數(shù)，即自變量），整理項(xiàng)，移動(dòng)，結(jié)合 cos(x) 和sin(x) 的泰勒展開(kāi)式，還有虛數(shù)單位的定義 i=−1×−1 ， 有下列推導(dǎo)：

?這個(gè)公式有什么用呢？可視化后，如下圖所示

?假設(shè)縱坐標(biāo)自帶虛數(shù)單位 i （復(fù)平面），那么，sin(θ) 為縱坐標(biāo)（自帶虛數(shù)單位 i ），cos(θ) 為橫坐標(biāo)，則可以發(fā)現(xiàn)：e^(iθ) 表示一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓（圖中是 α ，因?yàn)樽鲌D軟件的限制，換不成 θ ，但不影響）

e^(iθ)這個(gè)公式等價(jià)于一種旋轉(zhuǎn)，θθ 為旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（統(tǒng)一單位，弧度制，即把°轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)）θ=2π 即為360°，是單位圓我們已經(jīng)優(yōu)雅的找到了這個(gè)橋梁，接下來(lái)仔細(xì)研究一下它意味著什么

指數(shù)函數(shù) Exponentiation

指數(shù)函數(shù)有一個(gè)非常重要的特性：加法變乘法，即

?也就是說(shuō)通過(guò)指數(shù)函數(shù)，可以做到使用平移變換來(lái)描述伸縮變換，這具體是什么意思呢？參考下面的動(dòng)圖

?上方的數(shù)軸，表示的是平移變換 -1（左移一個(gè)單位） 和 2（右移兩個(gè)單位）（加法），下方的數(shù)軸將兩個(gè)數(shù)作為輸入，代入到一個(gè)指數(shù)函數(shù)中，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，這個(gè)輸出值，就是兩次伸縮變換 （乘法），一次是收縮為原來(lái)的，另一次是拉伸成原來(lái)倍

注意，所謂可以變的意思是說(shuō)，加法運(yùn)算可以成立，意味著先往左平移1單位，再往右平移一單位，組合起來(lái)的左右就是往右平移一到位（-1+2=1, 群論的保持結(jié)構(gòu)特性) , 而乘法運(yùn)算成立也要滿足這個(gè)特性

復(fù)平面 Complex Plane

至此，構(gòu)造復(fù)平面，把虛數(shù)單位 ii 加到縱軸上。我們就同時(shí)擁有了伸縮和旋轉(zhuǎn)，最關(guān)鍵的是，有了這兩個(gè)操作，我們同時(shí)也可以維持的群的特性（使用乘法）如下面動(dòng)圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，以指數(shù)函數(shù)為橋梁，實(shí)軸橫向平移對(duì)應(yīng)伸縮，虛軸縱向平移對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)

?橫坐標(biāo)紅線，橫向平移映射到伸縮操作的可視化縱坐標(biāo)虛數(shù)單位，縱向平移映射到旋轉(zhuǎn)操作的可視化，正為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)現(xiàn)在使用的橋梁是底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù)，我們知道e^(πi)代表的半個(gè)圓周，我們希望把底數(shù)變成 e , 這樣更加方便表達(dá)圓的概念每走一個(gè)單位的縱向位移，在圓周上旋轉(zhuǎn)的圓弧長(zhǎng)度就是1，參照下面的動(dòng)圖，e^(πi) 恰好代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，并且落在的位置為（-1,0），這就是歐拉公式，或者說(shuō)是歐拉公式的幾何直觀可視化

?總結(jié)

這第一部分到底干了啥？其實(shí)就是想建立一個(gè)觀念（或者說(shuō)常識(shí)）e^x 在復(fù)平面，或者說(shuō) x=ai（a為某個(gè)常數(shù)，就是弧度制的圓周長(zhǎng)度）代表的變換是：旋轉(zhuǎn)如果你之前學(xué)過(guò)傅立葉變換，那么會(huì)明白為什么需要花費(fèi)這么大篇幅來(lái)講這個(gè)，因?yàn)楣街校?e^(iπ) 那是可是相當(dāng)重要的一部分啊

傅里葉變換

正式進(jìn)入傅立葉變換的部分，老規(guī)矩，先做一下基本信息整理

什么是傅立葉變換

首先，還是先弄清楚我們理解的目標(biāo)是什么傅立葉變換（如果不加限定，這個(gè)詞對(duì)應(yīng)的是連續(xù)傅立葉變換）

傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉變換還有很多其他的內(nèi)容：離散時(shí)間傅立葉變換，離散傅立葉變換，傅立葉逆變換，快速傅立葉變換等，進(jìn)一步的拉普拉斯變換，小波變換，z變換等

[ 公式表示 ]

傅立葉變換，變換作用是時(shí)域映射到頻域，公式是長(zhǎng)這樣的：

?很多時(shí)候，這里的會(huì)寫成 F(w) 或 F(f) 表示角速度或者頻率，當(dāng)然后面的公式的量綱也需要對(duì)應(yīng)的修改；后面的自變量 x 大多數(shù)時(shí)候都是寫成 t 表示時(shí)間。當(dāng)然，他們表示的都是同一個(gè)東西

[ 聯(lián)想鏈條 ]

既然是為了【理解】和【記憶】，那么我們還是需要定義一個(gè)聯(lián)想鏈條：傅立葉變換 ? 分解聲音的過(guò)程

這么抽象實(shí)在是因?yàn)椴鹱址ㄕ娴暮茈y聯(lián)想出什么東西來(lái)（傅里葉？變換？嗯，很難的樣子），只能這樣了。

接下來(lái)就是精華部分：3b1b的傅立葉變換講解內(nèi)的核心內(nèi)容！在筆記完成后，會(huì)給出結(jié)合直觀理解的完整聯(lián)想鏈條，目的當(dāng)然是【讓你永遠(yuǎn)忘不了】嘍，點(diǎn)題！

【看到】傅立葉變換

[ 聲音的表示 ]我們是如何記錄聲音的呢？如果你測(cè)量的是揚(yáng)聲器旁的氣壓，那么它會(huì)是一個(gè)隨時(shí)間以正弦函數(shù)形態(tài)不斷震蕩的圖像，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)音 A（下圖黃色），它的頻率是440Hz，表示每秒鐘振動(dòng)440次，比它低一些的D（下圖紫紅），是294Hz，振動(dòng)的慢一些。如果這兩個(gè)音同時(shí)發(fā)出，產(chǎn)生的氣壓隨時(shí)間曲線怎么決定呢？如下動(dòng)圖，其實(shí)就是把所有時(shí)間點(diǎn)的振幅加起來(lái)

?那么如果給你隨意一段隨時(shí)間變化的氣壓曲線，你如何找到這些原有的組成音符呢？這就是我們的目的，參考下面的動(dòng)圖，感覺(jué)有點(diǎn)像是把一盤混好的原料分成組成它的單獨(dú)的顏色，感覺(jué)不那么容易吧？

?下面就需要一步一步把這件事情做出來(lái)[ 可視化方法 ]首先，假設(shè)我們有一個(gè)每秒鐘3拍子的聲音信號(hào)（440Hz實(shí)在太快了），它的圖像如下（Intensity為強(qiáng)度，可以同理成氣壓），并且，我們只關(guān)注前面的4.5秒（即圖像中畫出來(lái)的部分）

1. 繞圈記錄法：同一事物的不同角度

千萬(wàn)不要眨眼！下面是最關(guān)鍵的一步，是【看到】傅立葉變換的核心部分，如下面動(dòng)圖所示

• 首先把黃色曲線纏繞到一個(gè)圓上，大小就是原本信號(hào)的振幅

• 圓周圍的圖像由白色的箭頭繪制而成，速度可變，上圖中的白色箭頭移動(dòng)速度是每秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)半圈（這個(gè)速度是對(duì)于下面的圓形圖像來(lái)說(shuō)，每秒鐘在圓形圖像中轉(zhuǎn)半圈），對(duì)應(yīng)上面的則是虛線表示一圈走到的位置，0.5拍子/秒

• 此時(shí)，有兩個(gè)頻率在起作用，一個(gè)是信號(hào)的頻率：3次震蕩/秒，另一個(gè)是圖像纏繞中心圓的頻率，為0.5圈/秒，第二個(gè)頻率可以自由改變，相當(dāng)于一個(gè)變量，下面的動(dòng)圖直觀的展現(xiàn)了纏繞速度變化時(shí)的可視化表現(xiàn)

?從最開(kāi)始的 0.79圈/秒（注意這里的速度是指繞單位圓的白色箭頭的滑動(dòng)速度）一直變化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原來(lái)的信號(hào)3拍/秒相同，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常穩(wěn)定的圖像，我們可以理解成，同步，這個(gè)繞圈圖像記錄了原信號(hào)的幅值變化并且每一圈都相同（周期性）其實(shí)，我們只是把一個(gè)水平的軸纏繞到一個(gè)單位圓上，并用另一個(gè)速度的記錄標(biāo)尺（白色箭頭）來(lái)畫圖，從另一個(gè)角度（維度）來(lái)看我們的信號(hào)

2. 質(zhì)心記錄法：新維度的特征提取

雖然新圖像挺好看的，但是現(xiàn)在感覺(jué)并沒(méi)法從中看出什么。也不盡然，我們直觀的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)白色箭頭記錄的速度在某些特定的值時(shí)，畫出來(lái)的圖形非常穩(wěn)定，形態(tài)清晰。那如何表現(xiàn)這個(gè)特征呢？從兩個(gè)角度來(lái)思考

（1）自變量是什么？（輸入特征）輸入是一個(gè)可變化的轉(zhuǎn)圈速度，既然可變，不妨把它看作自變量，即 f(x)中的x

（2）輸出（新的圓圈圖）有什么特征？（輸出特征）觀察到，當(dāng)圖像很混沌（沒(méi)有規(guī)律，混亂的）時(shí)候，圖像基本關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；穩(wěn)定時(shí)，其實(shí)是“頭重腳輕”的。

描述“頭重腳輕”最好的方法當(dāng)然是用【質(zhì)心】（它描述了物體的空間分布特征） ，下面的動(dòng)圖直觀展現(xiàn)了質(zhì)心特征對(duì)圖像特征的描述能力（紅色點(diǎn)為質(zhì)心）

?考慮到質(zhì)心其實(shí)是一個(gè)二維坐標(biāo)，這里為了簡(jiǎn)潔和直觀，取質(zhì)心的橫坐標(biāo)來(lái)表示質(zhì)心的特征【輸入（橫坐標(biāo)）】?【進(jìn)行采樣的（白色箭頭）的繞圈速度】【輸出（縱坐標(biāo)）】?【圓圈圖的質(zhì)心位置的橫坐標(biāo)】按照上面的說(shuō)明來(lái)記錄繪出圖像，記錄每個(gè)纏繞頻率（速度）對(duì)應(yīng)的質(zhì)心位置，參看下列動(dòng)圖，隨著圖像的繪制到3圈/秒這個(gè)位置的時(shí)候，是不是感到似曾相識(shí)呢？

?我們可以看到，新圖像的橫坐標(biāo)寫的是【頻率 Frequency】，即纏繞圓圈的記錄速度，所以強(qiáng)烈建議看到頻率，想起速度，并且抽象為圍著圓圈跑的速度（個(gè)人感受，對(duì)理解【頻率】的概念有助益）好！有了這個(gè)工具，先把它應(yīng)用到兩個(gè)聲音的組合圖像中看看效果：（這是我最喜歡的一張動(dòng)圖）

?什么？還是沒(méi)看清上面的振動(dòng)圖像如何變成圓圈圖的？看下面的動(dòng)圖，纏繞圓圈速度為2圈/秒的白色箭頭將時(shí)間信息映射到圓圈圖中的的可視化。再次重復(fù)，白色箭頭以一定的速度（頻率，一秒幾圈）在上圖中向右橫移，同時(shí)，在下面的單位圓內(nèi)被轉(zhuǎn)換成類似鐘表指針移動(dòng)的圓圈運(yùn)動(dòng)，并記錄振幅，畫出圖像

?BTW，圖形的一部分有點(diǎn)像動(dòng)畫EVA中某個(gè)使徒的臉，帶給人一種詭異的儀式感。數(shù)學(xué)之令人敬畏，可能在這一刻熠熠生輝，刺的人睜不開(kāi)眼[ 公式表示 ]大家也發(fā)現(xiàn)了，我們已經(jīng)通過(guò)這樣一個(gè)纏繞機(jī)器完成了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，總得來(lái)說(shuō)，參看下面的動(dòng)圖

?這是一種【近傅立葉變換】，為什么是【近】，后面會(huì)提到。先考慮，那如何數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)【轉(zhuǎn)圈記錄機(jī)制（工具 or 機(jī)器）】呢？

第一步：旋轉(zhuǎn)的表示

如下面的動(dòng)圖所示，在這個(gè)工具中，非常關(guān)鍵的就是轉(zhuǎn)圈，即表達(dá)旋轉(zhuǎn)這種運(yùn)動(dòng)，根據(jù)第一大部分，這個(gè)橋梁，就是復(fù)平面，其背后的原理是指數(shù)函數(shù)結(jié)合泰勒公式

?更進(jìn)一步，指數(shù)函數(shù)中，以 ee 為底的函數(shù)有著特殊的性質(zhì)，如下面動(dòng)圖所示，ππ單位的就表示一個(gè)單位圓的360°旋轉(zhuǎn)，則表示的就是一秒鐘一圈的旋轉(zhuǎn)方程，感覺(jué)速度有點(diǎn)太快了，所以加一個(gè) f 頻率，控制旋轉(zhuǎn)的速度 ，圖中為 1/10 , 合起來(lái)表示一秒鐘十分之一圈

?第二步：纏繞的表示

首先，依據(jù)下面的動(dòng)圖所示，在傅立葉變換中，我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針的（規(guī)定只是為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，并且有時(shí)候也會(huì)考慮書寫簡(jiǎn)潔和方便計(jì)算），所以先加一個(gè)負(fù)號(hào)。假設(shè)原來(lái)的函數(shù)是g(t)，將兩者的幅值相乘就能得到纏繞圖像，，可以說(shuō)是相當(dāng)機(jī)智了！

第三步：質(zhì)心的表示

那如何表示質(zhì)心這一概念呢？粗略想一下感覺(jué)挺難的，但是看起來(lái)很難的問(wèn)題，有一種解決問(wèn)題的途徑是【演繹推理】，先從簡(jiǎn)單的特例出發(fā)，推廣到一般，最后證明正確性即可考慮如何求一個(gè)正方形的質(zhì)心位置，我們只需在邊框上取n個(gè)等距離分布的點(diǎn)，并且算這幾個(gè)點(diǎn)的位置的平均值。那么推廣到一般情況，也使用類似的采樣點(diǎn)的方式解決，如下面動(dòng)圖所示（紫紅色的點(diǎn)即采樣點(diǎn)），得到

?隨著采樣點(diǎn)的增加，需要使用積分來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，如下面動(dòng)圖所示，得到

?最終步：整理積分限和系數(shù)

看到常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，如果忽略表達(dá)倍數(shù)關(guān)系的系數(shù)，對(duì)應(yīng)的含義也會(huì)發(fā)生變化，不再是質(zhì)心，而是信號(hào)存在的時(shí)間越久，位置是質(zhì)心位置乘以一個(gè)倍數(shù)，它的值就越大。參看下面的動(dòng)圖，持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為3秒，那么新的位置就是原來(lái)質(zhì)心位置的三倍；為6秒，就是原來(lái)的6倍

?而去掉系數(shù)的幾何直觀動(dòng)圖變?yōu)椋t色箭頭為去掉系數(shù)后的長(zhǎng)度表示），最本質(zhì)的區(qū)別是：可以使得最后繪制的圖像更集中在對(duì)應(yīng)的頻率的附近，或者說(shuō)在對(duì)應(yīng)的頻率位置的值更大

?繼續(xù)考慮上下限。我們知道，一般傅立葉變換公式的上下限是正負(fù)無(wú)窮，那它的幾何直觀是什么呢？參看下面動(dòng)圖，其實(shí)就是看看信號(hào)持續(xù)時(shí)間無(wú)窮大是什么樣子的

?說(shuō)實(shí)話，這個(gè)動(dòng)圖解答了我大學(xué)時(shí)代的一個(gè)疑惑，音樂(lè)文件不都是有時(shí)間長(zhǎng)度的嘛，我就一直不懂，憑什么對(duì)負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮做傅立葉變換？原來(lái)真實(shí)情況是，負(fù)無(wú)窮到0，音樂(lè)結(jié)尾到正無(wú)窮，就像上面的動(dòng)圖，其實(shí)都沒(méi)有振動(dòng)幅值（電信號(hào)幅值）與之對(duì)應(yīng)，再結(jié)合纏繞圓圈的思想：原來(lái)，從音樂(lè)開(kāi)始到結(jié)束傅立葉變換和從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮做傅立葉變換，是特么的一回事啊！（吐槽完畢）

補(bǔ)充

[ 相位 ]在表示質(zhì)心的時(shí)候，我們只取用了x軸坐標(biāo)，下面的圖中的藍(lán)色曲線就是縱坐標(biāo)（y軸 or 虛部）的可視化,紅色曲線是橫坐標(biāo)（x軸 or 實(shí)部）

?那么相位是如何表示的呢？如下面動(dòng)圖所示，其中紅色的部分為質(zhì)心，長(zhǎng)度為振幅大小，對(duì)應(yīng)的角度就是相位

?[ 原信號(hào)的長(zhǎng)度 ]

再追根究底一些，因?yàn)橹耙呀?jīng)提到過(guò)，假設(shè)我們的信號(hào)有4.5s。那么考慮原信號(hào)的長(zhǎng)度的變化呢？首先，假設(shè)信號(hào)的長(zhǎng)度很長(zhǎng)，那么纏繞圓上的線就會(huì)更多，每次接近穩(wěn)定圖像質(zhì)心的變化速度更快（即頻域圖像更加密集），參看下面動(dòng)圖

?那么對(duì)應(yīng)的，如果原信號(hào)的長(zhǎng)度縮短呢？如下面動(dòng)圖所示，頻域圖像會(huì)更加稀疏。原因同理，當(dāng)纏繞的內(nèi)容少的時(shí)候，重心變化的速度也相應(yīng)的變慢了

?總得來(lái)說(shuō)，基本就上述內(nèi)容就詳細(xì)解釋了下面的現(xiàn)象：

?時(shí)域的信號(hào)周期越長(zhǎng)，那么頻域就越集中，越不容易發(fā)生混疊，越容易抽象出時(shí)間信號(hào)的周期性重復(fù)信息，此時(shí)自然而然的，周期性這個(gè)詞就出現(xiàn)了。另外，可以自己思索一下，比如無(wú)窮時(shí)間的周期時(shí)域信號(hào)呢？又比如一個(gè)恒定振幅（一個(gè)電平）的時(shí)域信號(hào)呢？其實(shí)這里就給出了一個(gè)提示有關(guān)為什么傅立葉變換有那么多需要考慮的變形了，因?yàn)樵诶p繞這件事情發(fā)生的過(guò)程中，有幾種情況是特別的（這部分3B1B視頻并沒(méi)有講解，可能需要未來(lái)再更新了）

總結(jié)

講了這么長(zhǎng)，至此全部結(jié)束。估計(jì)讀者都已經(jīng)暈了，那么，在這里為【看到】傅立葉變換做一個(gè)總結(jié)，就來(lái)總得說(shuō)說(shuō)我們從頭到尾都干了些啥？參看下面動(dòng)圖

• （1）e^(πi)表示單位圓，添加自變量即可表示旋轉(zhuǎn)

• （2）與原函數(shù)相乘纏繞到單位圓上

• （3）為求質(zhì)心的特征，進(jìn)行積分計(jì)算

一步一步寫出傅立葉變換公式的聯(lián)想鏈條

• 一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°畫成的圓 ?

• 表示運(yùn)動(dòng)，需要原函數(shù)的自變量，時(shí)間

• 表示旋轉(zhuǎn)速度，需要自變量，頻率

• 規(guī)定變換的采樣方向?yàn)轫槙r(shí)針，加負(fù)號(hào)

• 乘以原函數(shù)纏繞到單位圓并記錄

（此處使用g符號(hào)標(biāo)識(shí)原函數(shù)是為了和頻率符號(hào)區(qū)分

• 為了計(jì)算質(zhì)心特征，積分

• 自變量為頻率 ff，寫出函數(shù)表達(dá)式

?作者 | 劉遙行