學(xué)個Antenna是以天線仿真和調(diào)試為主，理論原理為輔的干貨天線技術(shù)專欄，包括天線入門知識以及各類天線的原理簡介、仿真軟件建模、設(shè)計、調(diào)試過程及思路。如有想看到的內(nèi)容或技術(shù)問題，可以在文尾寫下留言。

摘要：

在上次關(guān)于陣列天線賦形波束綜合推文——陣列天線的賦形波束綜合(一)中，對傅里葉級數(shù)法進(jìn)行簡單的公式闡述和CST實例驗證。本次推文則獻(xiàn)上伍德沃德—勞森抽樣法實例。

本文使用的軟件為CST 2018和MATLAB 2019A

伍德沃德—勞森抽樣法

伍德沃德—勞森抽樣法需要通過對給定方向圖的不同離散角度進(jìn)行抽樣。看到這很多人就開始想，這咋感覺想信號與系統(tǒng)里面的那玩意，還抽樣了？上次講傅里葉級數(shù)法求解給定單元的激勵幅度來實現(xiàn)期望方向圖也很像時域-頻域變換。專業(yè)課最后還是靠數(shù)學(xué)作為最后的求解工具，數(shù)學(xué)——YYDS！

回顧下在淺談陣列天線及布陣中的一堆公式(左右滑動看完整公式)：

上面這個陣因子疊加公式，其實就能從中推出均勻直線陣的第一副瓣值和角度位置，各零點角度位置，線陣單元相差與波束指向的關(guān)系，主瓣3dB波束等參量。

當(dāng)上面最簡單的等幅同間矩的直線陣改為下面這種等間距，幅相均可變的直線陣后，所能綜合的遠(yuǎn)場方向圖自由度就提高了。

也是在這種約束條件下，Woodward在下面兩篇論文中闡述伍德沃德—勞森抽樣法的原理，這也成為了一種非常流行的用于任意波束賦形的天線方向圖合成方法。

1. P. M. Woodward, “A Method for Calculating the Field over a Plane Aperture Required to Produce a GivenPolar Diagram,” J. IEE, Vol. 93, pt. IIIA, pp. 1554–1558, 1946.

2. P. M. Woodward and J. D. Lawson, “The Theoretical Precision with Which an Arbitrary Radiation-Pattern May be Obtained from a Source of a Finite Size,” J. IEE, Vol. 95, pt. III, No. 37, pp. 363–370, September 1948.

如何理解這種方法呢，最簡單的思想就是：對于一個直線陣而言，一組不同的幅相配置會產(chǎn)生不同的波束指向。利用如下所示的方向圖的3dB波束寬度去填充想要的目標(biāo)方向圖，將所有組方向圖對應(yīng)的幅相激勵進(jìn)行疊加，得出最后每個單元最終應(yīng)該分配的幅度和相位。

例如對于下圖這種方波似的目標(biāo)方向圖，用不同波束指向的方向圖進(jìn)行疊加。

%matlab code clear;clc;N=10;format long; color_array={'r','g','b','m','k'}; theta0_array=45:10:135;legend_str={}; h=figure;set(gcf,'Position',[100 100 800 600]); for num=1:length(theta0_array)     theta=0:0.1:180;theta0=theta0_array(num);     F=abs(sin(N*deg2rad(theta-theta0))./(N*sin(deg2rad(theta-theta0))));     plot(theta,F,color_array{mod(num,length(color_array))+1},'linewidth',2);     set(gca,'linewidth',3);     xlabel('\theta(°)','Fontsize',12);     ylabel('F(\theta)','Fontsize',12);     set(gca,'XTick',0:10:180);     set(gca,'YTick',0:0.1:1);     axis([0,180,0,1]);     legend_str{num}=strcat(num2str(theta0),'°');     hold on; end h=legend(legend_str); set(h,'FontName','Times New Roman','FontSize',12,'FontWeight','normal'); hold off;

運行上面的Matlab代碼，得出如下不同波束的疊加圖，若是可以取其包絡(luò)，那么采樣點越多，帶內(nèi)的紋波越小。

左圖為采樣間隔10°，右圖為采樣間隔5°

可實際上我們是要將這些方向圖進(jìn)行相加操作：

%matlab code clear;clc;N=10;format long; theta0_array=45:5:135; h=figure;set(gcf,'Position',[100 100 800 600]); Ftotal=0; for num=1:length(theta0_array)     theta=0:0.1:180;theta0=theta0_array(num);     F=abs(sin(N*deg2rad(theta-theta0))./(N*sin(deg2rad(theta-theta0))));     Ftotal=Ftotal+F; end F_uniform=Ftotal/max(Ftotal); plot(theta,F_uniform,'r','linewidth',2); set(gca,'linewidth',3); xlabel('\theta(°)','Fontsize',12); ylabel('Ftoal(\theta)','Fontsize',12); set(gca,'XTick',0:10:180); set(gca,'YTick',0:0.1:1); axis([0,180,0,1]);

于是就出現(xiàn)了下面的最終方向圖：

看著還可以，不過伍德沃德—勞森抽樣法沒有我們那么想當(dāng)然，一切完備的理論都需要用數(shù)學(xué)去描述它。

下面就直接進(jìn)入本次推文的核心內(nèi)容：

第一步，確定采樣角度和激勵系數(shù)。還是以上面那個內(nèi)的類方波的期望方向圖為例。假設(shè)直線陣的單元間距為，單元數(shù)為N=10，線陣長度。

為了使綜合的方向圖對應(yīng)可見區(qū)，準(zhǔn)確地重建給定的方向圖，抽樣間隔可確定為:

抽樣角度可根據(jù)采樣點數(shù)的奇偶性表達(dá)如下(左右滑動看完整公式)：

因此抽樣角度可以通過上述公式計算得出，該角度對應(yīng)的激勵系數(shù)則取為期望方向圖對應(yīng)抽樣角度處的值，若抽樣點正好在預(yù)給的期望方向圖的邊界上，則抽樣值取其一半。

clear;clc; lambda_d=0.2; for m=-5:1:5     theta_m=rad2deg(acos(m*lambda_d)); end

計算后得到如下表：

第二步，確定各單元的饋電系數(shù)。對于離散直線陣而言，各單元的饋電系數(shù)可由下式確定：

各單元的饋電系數(shù)如下所示：

CST實例

將淺談陣列天線及布陣的模型略微修改下，使其工作頻率在15GHz附近，工作頻率半波長為10mm，間隔半波長布置10個單元。

在CST CombineResults里將上節(jié)計算的饋電系數(shù)代入進(jìn)去計算，可得15GHz的遠(yuǎn)場方向圖如下：

由于本次采用的10單元線陣去實現(xiàn)期望方向圖，相較于陣列天線的賦形波束綜合(一)單元數(shù)減半，因此可以看出中間部分的增益平坦度略微遜色。因為前面計算的陣列沿著軸排布，而上面的陣列是沿著軸組陣，因此看方向圖時，加個就可，或者直接將下圖的橫坐標(biāo)看成0~180°范圍亦可。

下圖所示為20單元線陣下，利用傅里葉級數(shù)法綜合的期望方向圖：

接下來分別綜合了更寬波束的類方波方向圖和寬波束筆狀方向圖：

類方波方向圖-饋電系數(shù)

從上面的仿真結(jié)果可以看出，3dB波束寬度達(dá)到了107度，且?guī)?nèi)增益平坦度不錯。

寬波束筆狀方向圖-饋電系數(shù)

從上面的仿真結(jié)果可以看出，3dB波束寬度達(dá)到了30度，2D圖像個子彈頭。

從下圖直觀對比三組方向圖可以看出，波束寬度越寬，其增益就會降低，這也符合理論經(jīng)驗。

伍德沃德—勞森抽樣法簡單、優(yōu)雅。然而，缺乏對旁瓣電平的局部控制能力也成為了其固有的缺陷。看到這里，有沒有想用GA，PSO等算法優(yōu)化激勵幅度和相位的小伙伴？有興趣可以一試。

END

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